Yandze 公式
概述
设
$$ D\left(h\right) = \left\{\left(x_1, \ldots, x_n\right) \mid x_i > 0, k_i > 0, \sum\limits_{i = 1}^n{x_i}^{k_i} < h\right\}, h > 0 $$
Yandze 公式用于求解 $D\left(h\right)$ 的测度（Measure）。别看他式子长得阴间，其实很好用。
发明者知乎 id 为 Edmia Buskum。
公式
$$ \int\limits_{D\left(h\right)}\prod\limits_{i = 1}^ndx_i = \frac{\prod\limits_{i = 1}^n\Gamma\left(\frac1{k_i} + 1\right)}{\Gamma\left(1 + \sum\limits_{i = 1}^n\frac1{k_i}\right)} \times h^{\sum\limits_{i = 1}^n\frac1{k_i}} $$
其中 $\Gamma\left(\cdot\right)$ 表示伽马（Gamma）函数。
$$\Gamma\left(z\right) = \int_0^{\infty}t^{z - 1}e^{-t}dt, \Re\left(x\right) > 0$$
推导
挺佩服推出这个公式的人的。
首先我们试图将 $D\left(h\right)$ 改变为 $D\left(1\right)$：
$$ \begin{aligned} \int\limits_{D\left(h\right)}\prod\limits_{i = 1}^ndx_i &= \int\limits_{x_i > 0, k_i > 0, \sum\limits_{i = 1}^n{x_i}^{k_i} < h}\prod\limits_{i = 1}^ndx_i\\ &= \int\limits_{x_i > 0, k_i > 0, \sum\limits_{i = 1}^n\left(\frac{x_i}{h^{1/k_i}}\right)^{k_i} < 1}\prod\limits_{i = 1}^ndx_i\\ &= \int\limits_{x_i > 0, k_i > 0, \sum\limits_{i = 1}^n{x_i}^{k_i} < 1}\prod\limits_{i = 1}^nh^{\frac1{k_i}}\prod\limits_{i = 1}^ndx_i\\ &= \prod\limits_{i = 1}^nh^{\frac1{k_i}}\int\limits_{D\left(1\right)}\prod\limits_{i = 1}^ndx_i\\ &= h^{\sum\limits_{i = 1}^n\frac1{k_i}}\int\limits_{D\left(1\right)}\prod\limits_{i = 1}^ndx_i \end{aligned} $$
接下来考虑求解 $\int\limits_{D\left(1\right)}\prod\limits_{i = 1}^ndx_i$。
$$ \int\limits_{x_i > 0}e^{-\sum\limits_{i = 1}^n{x_i}^{k_i}}\prod\limits_{i = 1}^ndx_i = \prod\limits_{i = 1}^n\int_0^{\infty}e^{-{x^i}^{k_i}}dx_i = \prod\limits_{i = 1}^n\Gamma\left(1 + \frac1{k_i}\right) $$
这个积分还可以用 $D\left(h\right)$ 来变换。
$$ \begin{aligned} \int\limits_{x_i > 0}e^{-\sum\limits_{i = 1}^n{{x_i}^{k_i}}}\prod\limits_{i = 1}^n{dx_i} &= \int_{h = 0}^{\infty}e^{-h}\int\limits_{D\left(h + dh\right) - D\left(h\right)}\prod\limits_{i=1}^{n}{dx_i}\\ &= \int_{h = 0}^{\infty}e^{-h} d\left(h^{\sum\limits_{i = 1}^n\frac1{k_i}}\int\limits_{D\left(1 \right)}\prod\limits_{i = 1}^n{dx_i} \right)\\ &= \int_{h = 0}^{\infty}e^{-h}d\left(h^{\sum\limits_{i = 1}^n\frac1{k_i}}\right)\int\limits_{D\left(1\right)}\prod\limits_{i = 1}^n{dx_i}\\ &= \Gamma\left(1 + \sum\limits_{i = 1}^n\frac1{k_i} \right) \int\limits_{D\left(1\right)}\prod\limits_{i = 1}^n{dx_i} \end{aligned} $$
于是就有了我们上面那个式子。
应用
锥体体积
$n$ 维锥体可以被描述为 $x_i > 0, \sum\limits_{i = 1}^nx_i < 1$ 的形式，使用 Yandze 公式可以得到 $\frac1{n!}$
球体体积
$n$ 维锥体可以被描述为 $\sum\limits_{i = 1}^nx_i < h$ 的形式，使用 Yandze 公式可以得到 $\frac{\left(h\pi\right)^{\frac n2}}{\left(\frac n2\right)!}$
推论
高维球体的体积绝大多数分布在球表面附近。原因是 $\left(h\pi\right)^{\frac n2}$ 对 $h$ 的增加反应剧烈。
比如一个半径 $61$ 的 $1000$ 维球的体积约为 $14237879$（我用 double 算的，应该有点误差），而外侧厚度为 $1$ 的球壳所占的体积有 $99.9997426\%$。
简单积分
比如
$$\int_0^1x^ndx, p > 0$$
相当于 $x, y > 0, y + x ^ n < 1$ 的测度，于是根据公式得到 $\frac1{n + 1}$。
参考
https://zhuanlan.zhihu.com/p/666630800