题意
证明：若 $3^n - 1$ 是 12-smooth 数，则 $n \leq 5$
题解
一个神奇的证明，来自 这里
如果我们可以证明，$2^a5^b7^c11^d$ 不能描述出所有 $3^n - 1$，对于 $n \geq 6$ 和 $a \geq 1$ 且 $b, c, d \geq 0$，那么原问题得证。
引理 1：$c = 0$
若 $c \geq 1$，则 $3^n - 1 \equiv 0 \pmod 7$，从而 $6 \mid n$，而 $3^3 \equiv 1 \pmod{13}$，所以 $3^{n/3} - 1 \equiv 0 \pmod{13}$，于是 $3^n - 1$ 不是 12-smooth 数，因此 $c = 0$。
引理 2：$bd = 0$
若 $bd \neq 0$，则 $b \neq 0$ 且 $d \neq 0$，于是 $3^n - 1 \equiv 0 \pmod{110}$，从而 $20 \mid n$，而 $3^{10} \equiv 1 \pmod{61}$。接下来同上，因此 $bd = 0$。
引理 3：$b \leq 1$
若 $b \geq 2$，则 $3^n - 1 \equiv 0 \pmod{50}$，从而 $20 \mid n$，接下来同上。
引理 4：$d \leq 2$
若 $d \geq 3$，则 $3^n - 1 \equiv 0 \pmod{2662}$，从而 $55 \mid n$，而 $3^{11} \equiv 1 \pmod{23}$，接下来同上。
引理 5：$a \leq 4$
若 $a \geq 5$，则 $3^n - 1 \equiv 0 \pmod{32}$，从而 $8 \mid n$，而 $3^{8} \equiv 1 \pmod{41}$，接下来同上。
综上，$3^n - 1$ 的可能取值仅有几个，枚举即可。