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一道趣题。
题意
无穷多个相同大小的正方形格子排成一排，向左右两边无限地延伸。每个格子里都有 $0$ 个、$1$ 个或多个原子。每一次，你可以对它们做下面两种操作之一：
- 选择某个格子，保证该格子内至少含有 $1$ 个原子。将该格子内的其中 $1$ 个原子分裂为 $2$ 个，从而使得该格子内的原子数量减 $1$，两边的邻格里的原子数量分别加 $1$。
- 选择某个格子，保证两边的邻格里均至少含有 $1$ 个原子。从两边的邻格里各取 $1$ 个原子聚合起来，从而使得两边的邻格里的原子数量分别减 $1$ ，该格子内的原子数量加 $1$。
初始时，某个格子里有 $1$ 个原子。现在，问你哪些格子可以通过上述操作，使得最后仅有这一个格子剩下刚好一颗原子。继续阅读下去之前，你不妨自己先试一试。你可以在纸上画好格子，用硬币、大米、巧克力豆等物体代替原子。
题解
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可以只考虑初始点右边的那些格子。
由于单位圆有的一些特殊性质，可以尝试使用它来证明一下。
设 $\omega = e^{\frac{2\pi i}6}$
对于一个数轴上的整数点 $p$，表示的数为 $i$，那么在这个位置上标上 $\omega^i$。
由于 $\omega^3 = -1$，即 $\omega^3 + 1 = 0$，所以可以把它因式分解一下，得到：
$$(\omega + 1)(\omega^2 – \omega + 1) = 0$$
而 $\omega + 1 \neq 0$，所以 $\omega^2 – \omega + 1 = 0$。
对于一个局面，假设在 $l_1, l_2, l_3, \ldots, l_n$ 上分别有 $c_1, c_2, c_3, \ldots, c_n$ 个原子，那么这个状态可以被表示为
$$\sum\limits_{i = 1}^nc_i \cdot \omega^{l_i}$$
为了方便描述，我们把这个东西叫做“特征值”。
现在可以分析操作 $1$ 对 特征值 的改变了。
位于位置 $\omega^n$ 的分裂时会减少 $\omega^n$，加上 $\omega^{n - 1}$ 和 $\omega^{n + 1}$。总改变量为：
$$\omega^{n - 1} + \omega^{n + 1} - \omega^n = \omega^{n - 1} \cdot \left(1 + \omega^2 - \omega\right)$$
而注意到，$\left(1 + \omega^2 - \omega\right) = 0$，所以操作 $1$ 并不会影响 特征值。
操作 $2$ 通过同样的方法也可分析得到不改变 特征值。
如果原来整个棋盘上只有 $\omega^n$ 位置上有 $1$ 个原子，后来变得整个棋盘上只有 $\omega^m$ 位置上有 $1$ 个原子，这就意味着 $\omega^n = \omega^m$，即 $\dfrac{\omega^m}{\omega^n} = 1$，即 $\omega^{m - n} = 1$。
考虑到有且仅有 $\omega^{6 \cdot k} = 1$，所以 $m - n$ 是 $6$ 的倍数。
也就是说只有 $6$ 的倍数的位置可以。