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e 的神奇近似表达

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$$\left(1 + 9^{-4^{7 \times 6}}\right)^{3^{2^{85}}}$$

它恰好用到了 1 到 9 这 9 个数字。
猜猜看它能精确到 e 的小数点后多少位?
10 位?100 位?1000 位?10000 位?

它能精确到小数点后 18, 457, 734, 525, 360, 901, 453, 873, 570 位!
显然,这绝对不是一个巧合。它的秘密就在于,e 事实上等于
$$\lim_{n \to \infin} \left(1 + \frac1n\right)^n$$
,而 $\displaystyle 9^{4^{7 \times 6}}$ 恰好就等于 $\displaystyle3^{2^{85}}$。


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