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三次方程解法

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二次方程

如今我们都知道的形式是 ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0，我们有通解 x=−b±b2−4ac2ax = -b \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}。

我们希望找一个有启发性的解法，帮助我们推导三次方程的解。

首先我们先给我们的形式简化一下，显然可以变成 x2+bax+ca=0x^2 + \frac bax + \frac ca = 0，但这样不太美观，我们换成 x2+px=qx^2 + px = q 的形式。此时如果我们把两边都加上 (p2)2\left(\frac p2\right)^2，就变成了

x2+px+(p2)2=q+(p2)2(x+p2)2=q+(p2)2x+p2=±q+(p2)2x=−p2±q+(p2)2 \begin{aligned} x^2 + px + \left(\frac p2\right)^2 &= q + \left(\frac p2\right)^2\\ \left(x + \frac p2\right)^2 &= q + \left(\frac p2\right)^2\\ x + \frac p2 &= \pm\sqrt{q + \left(\frac p2\right)^2}\\ x &= -\frac p2 \pm\sqrt{q + \left(\frac p2\right)^2} \end{aligned}

这个其实是古巴比伦人几何理解的公式表达。

凹陷三次方程

凹陷三次方程的形式为 x3−px=qx^3 - px = q，是三次方程的没有二次项的特殊形式。

我们发现一个公式

(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3\left(a - b\right)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

稍微进行一点改造：

(a−b)3−3ab(a−b)=a3−b3\left(a - b\right)^3 - 3ab\left(a - b\right) = a^3 - b^3

我们发现，a−ba - b 正是凹陷三次方程 x3−3abx=a3−b3x^3 - 3abx = a^3 - b^3 的一个解。

那么给定一个凹陷三次方程 x3−px=qx^3 - px = q，我们要找到一个 α\alpha 和 β\beta，满足 3αβ=p3\alpha\beta = p 且 α3−β3=q\alpha^3 - \beta^3 = q。把 β\beta 用 α\alpha 代换，我们得到一个等式：

α3−(p3α)3=q\alpha^3 - \left(\frac p{3\alpha}\right)^3 = q

显然好解。

对于一些复数解需要特殊处理。

三次方程

对于一个三次方程 ax3+bx2+cx+d=0ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，我们令 x=t−b3ax = t - \frac b{3a}，即可将其转成一个凹陷三次方程 t3+pt+q=0t^3 + pt + q = 0。

t=x+b3ap=3ac−b23a2q=2b3−9abc+27a2d27a3 \begin{aligned} t &= x + \frac b{3a}\\ p &= \frac{3ac - b^2}{3a^2}\\ q &= \frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3} \end{aligned}

解出 tt 还原 xx 即可。

2 条评论

  1. rbtree · 2024-10-25 22:19

    orz

  2. rbtree · 2024-08-19 15:10

    orz

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