二次方程
如今我们都知道的形式是 ax2+bx+c=0,我们有通解 x=−b±2ab2−4ac。
我们希望找一个有启发性的解法,帮助我们推导三次方程的解。
首先我们先给我们的形式简化一下,显然可以变成 x2+abx+ac=0,但这样不太美观,我们换成 x2+px=q 的形式。此时如果我们把两边都加上 (2p)2,就变成了
x2+px+(2p)2(x+2p)2x+2px=q+(2p)2=q+(2p)2=±q+(2p)2=−2p±q+(2p)2
这个其实是古巴比伦人几何理解的公式表达。
凹陷三次方程
凹陷三次方程的形式为 x3−px=q,是三次方程的没有二次项的特殊形式。
我们发现一个公式
(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3
稍微进行一点改造:
(a−b)3−3ab(a−b)=a3−b3
我们发现,a−b 正是凹陷三次方程 x3−3abx=a3−b3 的一个解。
那么给定一个凹陷三次方程 x3−px=q,我们要找到一个 α 和 β,满足 3αβ=p 且 α3−β3=q。把 β 用 α 代换,我们得到一个等式:
α3−(3αp)3=q
显然好解。
对于一些复数解需要特殊处理。
三次方程
对于一个三次方程 ax3+bx2+cx+d=0,我们令 x=t−3ab,即可将其转成一个凹陷三次方程 t3+pt+q=0。
tpq=x+3ab=3a23ac−b2=27a32b3−9abc+27a2d
解出 t 还原 x 即可。
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学习笔记
- 最后更新于:2024-08-22 15:14:43UTC+8
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数学
rbtree · 2024-10-25 22:19
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rbtree · 2024-08-19 15:10
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