三次方程解法

二次方程

如今我们都知道的形式是 $ax^2 + bx + c = 0$，我们有通解 $x = -b \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。

我们希望找一个有启发性的解法，帮助我们推导三次方程的解。

首先我们先给我们的形式简化一下，显然可以变成 $x^2 + \frac bax + \frac ca = 0$，但这样不太美观，我们换成 $x^2 + px = q$ 的形式。此时如果我们把两边都加上 $\left(\frac p2\right)^2$，就变成了

$$ \begin{aligned} x^2 + px + \left(\frac p2\right)^2 &= q + \left(\frac p2\right)^2\\ \left(x + \frac p2\right)^2 &= q + \left(\frac p2\right)^2\\ x + \frac p2 &= \pm\sqrt{q + \left(\frac p2\right)^2}\\ x &= -\frac p2 \pm\sqrt{q + \left(\frac p2\right)^2} \end{aligned} $$

这个其实是古巴比伦人几何理解的公式表达。

凹陷三次方程

凹陷三次方程的形式为 $x^3 - px = q$，是三次方程的没有二次项的特殊形式。

我们发现一个公式

$$\left(a - b\right)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$

稍微进行一点改造：

$$\left(a - b\right)^3 - 3ab\left(a - b\right) = a^3 - b^3$$

我们发现，$a - b$ 正是凹陷三次方程 $x^3 - 3abx = a^3 - b^3$ 的一个解。

那么给定一个凹陷三次方程 $x^3 - px = q$，我们要找到一个 $\alpha$ 和 $\beta$，满足 $3\alpha\beta = p$ 且 $\alpha^3 - \beta^3 = q$。把 $\beta$ 用 $\alpha$ 代换，我们得到一个等式：

$$\alpha^3 - \left(\frac p{3\alpha}\right)^3 = q$$

显然好解。

对于一些复数解需要特殊处理。

三次方程

对于一个三次方程 $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$，我们令 $x = t - \frac b{3a}$，即可将其转成一个凹陷三次方程 $t^3 + pt + q = 0$。

$$ \begin{aligned} t &= x + \frac b{3a}\\ p &= \frac{3ac - b^2}{3a^2}\\ q &= \frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3} \end{aligned} $$

解出 $t$ 还原 $x$ 即可。

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• 分类： 学习笔记
• 最后更新于：2024-08-22 15:14:43^UTC+8
• 标签： 数学