题意
要求在把单位圆的圆周分为 $n$ 段，求第 $m$ 短的段的期望长度。
（感觉应该会有原题）
题解
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可以考虑先求最短的段的期望长度。假设最短的段长为 $t$，那么剩下的 $n - 1$ 段的长度都大于等于 $t$，所以先将每条线段的长度都减去 $t$，这样问题就变成了在长度为 $2\pi - nt$ 的线段上随便取 $n - 1$ 个点。我们可以枚举 $t$，那么就有
$$E\left(Len_1\right) = \int_0^{\frac1n}\left(2\pi - nt\right)^{n - 1} dt$$
通过数学知识可以得到
$$E\left(Len_1\right) = \frac{2\pi}{n^2}$$
展开具体过程
$$\int_0^{\frac1n}\left(2\pi - nt\right)^{n - 1} dt$$
$$2\pi \cdot \int_0^{\frac1n}\left(1 - nt\right)^{n - 1} dt$$
$$-2\pi \cdot \frac1n \cdot \int_0^{\frac1n}\left(1 - nt\right)^{n - 1} d\left(1 - nt\right)$$
$$-2\pi \cdot \frac1{n^2} \left(1 - nt\right)^n \vert_0^\frac1n$$
$$\frac{2\pi}{n^2}$$
顺理成章，考虑第二短的段的期望长度，就是先把每一段都减去 最短的段的长度，并把原来最短那段删掉，然后转化为求最短线段长度的期望。直接给出公式：
$$E\left(Len_2\right) = \frac{2\pi - E\left(Len_1\right)}{\left(n - 1\right)^2} + E\left(Len_1\right)$$
化简得到
$$E\left(Len_2\right) = \frac{2\pi}n\left(\frac1n + \frac1{n - 1}\right)$$
顺理成章，考虑第 $m$ 短的段的期望长度，同理可得：
$$E\left(Len_m\right) = \frac{2\pi}n\sum\limits_{i = n - m + 1}^n \frac1i$$