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又是一道自己出的题

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题意

要求在把单位圆的圆周分为 $n$ 段,求第 $m$ 短的段的期望长度。
(感觉应该会有原题)

题解

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可以考虑先求最短的段的期望长度。假设最短的段长为 $t$,那么剩下的 $n - 1$ 段的长度都大于等于 $t$,所以先将每条线段的长度都减去 $t$,这样问题就变成了在长度为 $2\pi - nt$ 的线段上随便取 $n - 1$ 个点。我们可以枚举 $t$,那么就有

$$E\left(Len_1\right) = \int_0^{\frac1n}\left(2\pi - nt\right)^{n - 1} dt$$

通过数学知识可以得到

$$E\left(Len_1\right) = \frac{2\pi}{n^2}$$

展开具体过程
$$\int_0^{\frac1n}\left(2\pi - nt\right)^{n - 1} dt$$
$$2\pi \cdot \int_0^{\frac1n}\left(1 - nt\right)^{n - 1} dt$$
$$-2\pi \cdot \frac1n \cdot \int_0^{\frac1n}\left(1 - nt\right)^{n - 1} d\left(1 - nt\right)$$
$$-2\pi \cdot \frac1{n^2} \left(1 - nt\right)^n \vert_0^\frac1n$$
$$\frac{2\pi}{n^2}$$

顺理成章,考虑第二短的段的期望长度,就是先把每一段都减去 最短的段的长度,并把原来最短那段删掉,然后转化为求最短线段长度的期望。直接给出公式:

$$E\left(Len_2\right) = \frac{2\pi - E\left(Len_1\right)}{\left(n - 1\right)^2} + E\left(Len_1\right)$$

化简得到

$$E\left(Len_2\right) = \frac{2\pi}n\left(\frac1n + \frac1{n - 1}\right)$$

顺理成章,考虑第 $m$ 短的段的期望长度,同理可得:

$$E\left(Len_m\right) = \frac{2\pi}n\sum\limits_{i = n - m + 1}^n \frac1i$$


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