定义

简单来讲（不严谨）若一个变换 $\mathscr A$ 是线性变换，则对于线性空间中的任意元素 $\alpha$ 和 $\beta$ 它必须满足：

• $\mathscr A\left(\alpha + \beta\right) = \mathscr A\left(\alpha\right) + \mathscr A\left(\beta\right)$
• 对于该数域上的任意值 $k$，有 $\mathscr A\left(k\alpha\right) = k\mathscr A\left(\alpha\right)$

莫比乌斯（Möbius）反演

如果对于数论函数 $f\left(n\right)$ 和 $F\left(n\right)$，有

则将其莫比乌斯反演公式定义为：

其中，$\mu$ 为 莫比乌斯（Möbius）函数，具体定义为：

若要证明莫比乌斯反演公式为线性变换，首先需要证明 $\mathscr M\left(\alpha + \beta\right) = \mathscr M\left(\alpha\right) + \mathscr M\left(\beta\right)$：

证毕。

其次，要满足 $\mathscr M\left(k\alpha\right) = k\mathscr M\left(\alpha\right)$

证毕。

两条性质都满足。因此，莫比乌斯反演是线性变换。

二项式反演

如果对于函数 $f\left(n\right)$ 和 $g\left(n\right)$ 有

那么就有

若要证明二项式反演公式为线性变换，首先需要证明 $\mathscr B\left(f_1 + f_2\right) = \mathscr B\left(f_1\right) + \mathscr B\left(f_2\right)$

证毕

其次，要满足 $\mathscr B\left(kf\right) = k\mathscr B\left(f\right)$

证毕。

两条性质都满足。因此，二项式反演是线性变换。